シラバス参照
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| 科目一覧へ戻る | 2020/10/22 現在 |
| 科目名（和文） ／Course |
ベクトル解析と幾何学 |
|---|---|
| 科目名（英文） ／Course |
Vector Analysis and Geometry |
| 時間割コード ／Registration Code |
21140101 |
| 学部（研究科） ／Faculty |
情報工学部 |
| 学科（専攻） ／Department |
情報通信工学科 |
| 担当教員（○：代表教員）
／Principle Instructor （○） and Instructors |
○吉田 浩治 |
| オフィスアワー ／Office Hour |
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| 開講年度 ／Year of the Course |
2020年度 |
| 開講期間 ／Term |
第2クォーター |
| 対象学生 ／Eligible Students |
2年 |
| 単位数 ／Credits |
2.0 |
| 更新日 ／Date of renewal |
2020/03/11 |
|---|---|
| 使用言語 ／Language of Instruction |
日本語 |
| オムニバス ／Omnibus |
該当なし |
| 授業概略と目的 ／Cource Description and Objectives |
幾何学が対象とするものは図形である。3次元の空間に含まれる1次元の図形である曲線や2次元のそれである曲面を表現するためにはベクトルは都合がよい。空間の中でねじれる曲線や曲面は時間や曲線の長さなどの関数達を組み合わせたベクトルで考える。そして空間で定義されたスカラやベクトルを考え、それらを微分や積分して調べる。しかし、単なる関数の組み合わせの微積分ではなく、幾何学的対象としての特徴を考慮にいれた解析学がベクトル解析である。ベクトル解析は、力学、電磁気学、流体力学の数学的記述の基礎をなしている。 本講義ではベクトル解析の基本を修得することから始め、微分積分学の基本定理の高次元への拡張といえるストークスの定理や発散定理を理解し、それらを用いた計算ができるようになることを目的とする。 |
| 履修に必要な知識・能力・キーワード ／Prerequisites and Keywords |
本講義は「解析学」と「線形代数学」の履修を前提とする。 特に、ベクトルの定義、表現方法、内積と外積を含む演算法則の知識およびそれらに基づいて、表現や計算を実施する能力、また、解析学に関しては、偏微分、テイラー展開、重積分の知識およびそれらに関する計算を実施する能力が必要である。 キーワード：ベクトル、偏微分、重積分、スカラー場、ベクトル場、勾配、発散、回転、空間曲線、曲面、線積分、面積分、発散定理、ストークスの定理 |
| 履修上の注意 ／Notes |
講義に出席し、教科書を中心に予習・復習を欠かさないことが肝要である。 線形代数、微積分の基礎が十分でない者は参考書等を利用して、自主的に復習しておくこと。 講義中に述べられる連絡事項に十分注意すること。 |
| 教科書 ／Textbook(s) |
「基礎解析学コースベクトル解析」矢野健太郎・石原繁著（裳華房） |
| 参考文献等 ／References |
「微分積分概論」坂田定久・萬代武史・山原英男著（学術図書出版） 「基本線形代数」坂田泩・曽布川拓也著（サイエンス社） |
| 自主学習ガイド ／Expected Study Guide outside Coursework/Self-Directed Learning Other Than Coursework |
講義前に教科書を利用して予習し、講義後に宿題に取り組むことで復習を欠かさないこと。 |
| 資格等に関する事項 ／Attention Relating to Professional License |
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| 備考 ／Notes |
| No. | 単元（授業回数） ／Unit (Lesson Number) |
単元タイトルと概要 ／Unit Title and Unit Description |
時間外学習 ／Preparation and Review |
配付資料 ／Handouts |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | [ベクトルの内積・外積と微分・積分] ベクトルの内積と外積の復習のために、定義、演算法則、例題を説明する。また、ベクトルの微分と積分を説明し、 それに伴って必要となる、偏微分、テイラー展開、重積分の説明を簡単に行う。 |
予習：線形代数学の教科書，または本講義で指定する教科書によって，ベクトルの復習をしておくこと。 また、解析学の教科書によって，偏微分、テイラー展開，重積分の復習をしておくこと。 復習：授業中に提示された宿題に取り組むこと。 |
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| 2 | 2 | [スカラー場の勾配] ベクトル場およびスカラー場を説明し、スカラー場の勾配の定義と性質について説明する。 |
予習：教科書の第3章第1節「スカラー場・勾配」を予習しておくこと。復習：授業中に提示された宿題に取り組むこと。 | |
| 3 | 3 | [ベクトル場の発散] ベクトル場の発散の定義と微分演算子を用いた表現を説明する。また、具体的な計算方法を例題を通して説明する。 |
予習：教科書の第3章第2節「発散・回転」の発散の箇所を予習しておくこと。復習：授業中に提示された宿題に取り組むこと。 |
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| 4 | 4 | [ラプラシアン] 演算子であるラプラシアンと調和関数について説明する。また、具体的な計算方法を例題を通して説明する。 |
予習：教科書の第3章第2節「発散・回転」の発散の箇所を予習しておくこと。復習：授業中に提示された宿題に取り組むこと。 |
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| 5 | 5 | [ベクトル場の回転] ベクトル場の回転の定義と微分演算子を用いた表現を説明する。また、具体的な計算方法を例題を通して説明する。 |
予習：教科書の第3章第2節「発散・回転」の回転の箇所を予習しておくこと。復習：授業中に提示された宿題に取り組むこと。 |
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| 6 | 6 | [問題演習] スカラー場やベクトル場での勾配、発散、回転に関する演習問題に取り組む。 |
予習：これまでの授業内容を宿題の問題を中心に復習しておくこと。復習：授業中に提示された宿題に取り組むこと。 |
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| 7 | 7 | [中間テストとそれの解説とまとめ] これまでの授業内容での中間テストを実施し、終了後に解説とまとめを行う。 |
予習：前回の問題演習の問題を中心に復習しておくこと。 | |
| 8 | 8 | [空間曲線] 空間曲線、曲線の弧長、接ベクトルを説明し、具体的な計算方法を例題を通して説明する。 |
予習：教科書の第3章第3節「空間曲線」を予習しておくこと。復習：授業中に提示された宿題に取り組むこと。 |
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| 9 | 9 | [線積分] スカラー場及びベクトル場の曲線に沿った線積分を説明し、具体的な計算方法を例題を通して説明する。 |
予習：教科書の第3章第4節「線積分・面積分」を予習しておくこと。復習：授業中に提示された宿題に取り組むこと。 |
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| 10 | 10 | [面積分] 曲面、接平面、面積素を説明した上で、スカラー場の曲面上での面積分およびベクトル場の曲面に沿った面積分を説明し、具体的な計算方法を例題を通して説明する。 |
予習：教科書の第3章第4節「線積分・面積分」を予習しておくこと。復習：授業中に提示された宿題に取り組むこと。 |
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| 11 | 11 | [ストークスの定理] これまでの授業で説明したことに基づき、ストークスの定理を説明する |
予習：教科書の第4章第2節「ストークスの定理」を予習しておくこと。復習：授業中に提示された宿題に取り組むこと。 |
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| 12 | 12 | [ストークスと定理の応用] ストークスの定理を応用した定理を説明する。また、例題を通してストークスの定理の応用の方法を説明する。 |
予習：教科書の第4章第3節「積分公式の応用」のストークスの定理に関する箇所を予習しておくこと。復習：授業中に提示された宿題に取り組むこと。 |
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| 13 | 13 | [発散定理] これまでの授業で説明したことに基づき、発散定理を説明する。 |
予習：教科書の第4章第2節「発散定理」を予習しておくこと。復習：授業中に提示された宿題に取り組むこと。 |
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| 14 | 14 | [まとめと総合演習] 主として第8回目以降の授業内容に関する演習問題に取り組む。 |
これまでの授業内容を宿題の問題を主として復習しておくこと。 |
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| 15 | 15 | [発散定理の応用] 発散定理を応用した定理を説明する。また、例題を通して発散定理の応用の方法を説明する。 |
予習：教科書の第4章第3節「積分公式の応用」の発散定理に関する箇所を予習しておくこと。復習：授業中に提示された宿題に取り組むこと。 |
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| 16 | 16 | [期末試験] 期末試験を実施する。中間試験までの授業内容の理解を前提として，それ以後の授業内容に関する問題を出題する。 教科書やノートなど，授業に関連する資料の持ち込みは一切認めない。 |
授業中に提示たれた宿題と総合演習での問題を主として復習して、試験に備えること。 |
| No. |
到達目標 ／Learning Goal |
知識・理解 ／Knowledge & Undestanding |
技能・表現 ／Skills & Expressions |
思考・判断 ／Thoughts & Decisions |
伝達・コミュニケーション ／Communication |
協働 ／Cooperative Attitude |
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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ベクトル関数の微積分を理解し,スカラー場の勾配と方向微分が計算ができるようになる。 | ○ | ○ | |||||
| 2 | ベクトル場の発散と回転の概念を理解し計算ができるようになる。 | ○ | ○ | |||||
| 3 | スカラー場とベクトル場の線積分の計算ができるようになる。 | ○ | ○ | |||||
| 4 | スカラー場とベクトル場の面積分の計算ができるようになる。 | ○ | ○ | |||||
| 5 |
ストークスの定理や発散定理を理解し利用できるようになる。 |
○ | ○ |
| No. |
到達目標 ／Learning Goal |
定期試験 ／Exam. |
中間試験 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ベクトル関数の微積分を理解し,スカラー場の勾配と方向微分が計算ができるようになる。 | ○ | |||||
| 2 | ベクトル場の発散と回転の概念を理解し計算ができるようになる。 | ○ | |||||
| 3 | スカラー場とベクトル場の線積分の計算ができるようになる。 | ○ | |||||
| 4 | スカラー場とベクトル場の面積分の計算ができるようになる。 | ○ | |||||
| 5 |
ストークスの定理や発散定理を理解し利用できるようになる。 |
○ | |||||
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評価割合（％） ／Allocation of Marks |
70 | 30 | |||||